Rođen u Americi, kao i svi dobri crtači, veoma brzo je stigao do slavnog studija „DC Comics“. Tu je napravio svoje prve stripove, ali pravi uspjeh je uslijedio tek 1988, kada je Mur pokrenuo svoje sopstveno strip-izdanje Mad Love.
Sa Malcolmom McLarenom, menadžerom „Seks pistolsa“, radio je scenario za nikada realizovani film „Modna zver“.
Prvi njegov strip koji je doživeo svjetsku slavu poznat je pod naslovom Iz pakla. Po njemu je snimljen i holivudski film sa Džonijem Depom u glavnoj ulozi. To je bila mistično-okultna verzija priče o Džeku Trbosjeku.
Smisao za ezoteriju i magiju odvela je Mura u pravcu još popularnijih serijala kao što su The Watchman i Liga izuzetnih džentlmena. Prema anketama kritičara, strip The Watchman svrstava se među deset najboljih stripova svih vremena. Godine 2009. snimljen je i film istog naslova.
Moor živi u engleskom gradu Northemptonu i bavi se muzikom za svoju dušu.