O Bašeskiji znamo samo ono što je on o sebi zabilježio u svom “Ljetopisu”, pa je, prema tome, to i jedini izvor za upoznavanje njegova života i rada. Puno mu je ime Mula Mustafa Bašeskija sa pjesničkim pseudonimom Ševki. Sin je Ahmedov, a unuk Kadri-hodže.
Početno obrazovanje dobio je u mektebu kod hodže Sulejman-efendije Arnauta. Da se Mustafa isticao u mektebu među svojim vršnjacima, vidimo po tome što postaje kalfa. Bašeskija je izučio i kazaski zanat kod majstora Šahinbašića, kazaza i imama jedne sarajevske džamije.
U svom “Ljetopisu” ostavio nam je neke podatke i o svojoj porodici. Njegov otac Ahmed, vjerovatno je umro dok je Mustafa bio još dijete, a majka Fatima, kćerka Mehmed-hodžina, preudala se za nekog mutapčiju i umrla od kapi 1772. godine. Mula Mustafa se oženio vrlo mlad sa Safijom, kćerkom Mustafa-age Čartozana.
Najpoznatije Bašeskijino djelo je “Ljetopis o Sarajevu”, u kojem Bašeskija govori o dešavanjima u Sarajevu u periodu od 1746. do 1804. godine. Poznata je također i njegova izreka: “Ostaje samo ono što je zapisano, a sve drugo se zaboravlja”. Ova rečenica bila je Bašeskijin glavni motiv da napiše “Ljetopis”.
Godine 1801. Bašeskiju je dohvatila kap. Sve do danas nije bio ustanovljen tačan datum Bašeskijine smrti. Većina autora koji su ranije pisali o Bašeskiji pretpostavljaju da je on umro 1803. godine, dok Muderizović, koji je prevodio Ljetopis Bašeskije, smatra da je ljetopisac umro 1805. godine.
Prema posljednjim istraživanjima, ustanovljeno je da je Mula Mustafa Bašeskija umro 18. avgusta 1809. godine.